交流回路

抵抗値(Registance)Rを持つ抵抗、インダクタンス(inductance)Lを持つコイル、静電容量(Capacitance)Cを持つコンデンサーを直列で交流電源につないだ回路を考える。

このときの、電流値や、抵抗、コイル、コンデンサーの両端電圧を求めてみよう。

（ちなみに、並び順は各パーツの両端電圧とは関係ない。）

抵抗の両端の電圧は電流Iの関数として

で与えられる。
コイルの両端電圧は電流の時間変化の関数として

で与えられる。
また、コンデンサーの両端電圧はたまっている電荷Qの関数として

となる。この合計が電源の電圧（起電力）と等しい。

この式を時間tで微分すると

となる。ここで

を使った。  →参考

これを解くために

として代入すると

これは

と書ける。これをiωで割ると

となる。
さて、直流回路のときは、電流R、電圧V、抵抗Rの関係は

であったから、

は抵抗のようなものである。この交流の場合の抵抗のようなものZをインピーダンスという。
交流回路の電流と電圧の関係はインピーダンスを使って

と書くことが出来る。

インピーダンスは一般に複素数なので、実部と虚部に分けて書くと

となる。
また、距離と方位角で書けば、

と書けるが、この場合は

となるので、タンジェントの逆関数で位相角θを求めることが出来る。
この表現を使うと

となることから

となる。電流の位相は、電源の位相よりもθだけ遅れることになる。

電流が

で与えられることがわかったので

を利用すると

となる。これから、

という交流電源に直列につないだ、コイル、抵抗、コンデンサーの両端電圧は

となる。 そして電流は

である。
ここで

であり、複素数のインピーダンスはこの|Z|とθで

と表現できる。

実際に電圧や電流を測るときは、上の解の実数成分を測ることになる。
したがって

という出力をする交流電源につないだ回路の電流(I)、コイル両端電圧(V_L)、抵抗両端電圧(V_R)、コンデンサー両端電圧(V_C)は

となる。
V_L、V_R、V_Cの位相が90°(π/2)ずつずれていることがわかる。
電流の位相はV_Rに等しい。そして電源の位相ωtに対してθだけずれる。

これをアニメーションで表現したものがこちらのページにある。
角速度ω、抵抗R、インダクタンスL、静電容量Cを変えると何がどのように変化するかがわかる。
(JAVAを使っているので、開くまで少し時間がかかることがある）

同じものが二枚開くので、片方の数値を変えて、何がどのように変化するか見てみよう。

   →JAVAによる両端電圧の計算アニメーション

電源が用意されていて、V₀とωは変えられないとしよう。
また、抵抗Rも決まっているとする。
このとき、電流が最大になる条件は何だろうか。

であるから、これは|Z|を最小にする条件を探す問題である。(θは最大値には効かない。）

であり、Rは変えられないから、

を最小にすることが、|Z|を最小にする条件である。
ところで、これは二乗なので負にはならない。
よって

すなわち

のとき、|Z|が最小となり、最大の電流が流れる。
また、このとき

であるから

となって、抵抗の両端電圧は電源の電圧に等しくなる。
そして、最大電流値は

となる。